Question

如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥底面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點，
求證：（1）DE=DA；
（2）面BDM⊥面ECA．

Answer 1

分析：（1）取AC中點N，連接MN、BN，欲證DE=DA，根據三角形的中線又是高的三角形是等腰三角形，而M為AE中點，只需證明DM⊥AE即可；
（2）欲證平面BDM⊥平面AEC，根據面面垂直的判定定理可知在平面BDM內一直線與平面AEC垂直，而根據題意可得DM⊥平面AEC．

解答：證明：（1）取AC中點N，連接MN、BN，
∵△ABC是正三角形，
∴BN⊥AC，
∵EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，
∴EC∥BD，EC⊥BN，
又∵M為AE中點，EC=2BD，
∴MN

∥ .

.

BD，∴BN

∥ .

.

DM，
∴四邊形MNBD是平行四邊形，
因為BN⊥AC，BN⊥EC，
所以BN⊥平面AEC，
∴DM⊥平面AEC，
∴DM⊥AE，
∴AD=DE．
（2）∵DM⊥平面AEC，DM?平面BDM，
∴平面BDM⊥平面AEC．

點評：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及等腰三角形的判定等有關知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．