Question

設函數f(x)=

1，(1≤x≤2) x-1，(2＜x≤3)

，g（x）=f（x）-ax，x∈[1，3]，其中a≥0．記函數g（x）的最大值與最小值的差為h（a），求h（a）的表達式并求h（a）的最小值．

Answer 1

分析：由已知可求出g（x）的解析式，分類討論出函數在各段上的單調性，進而求出函數的最值的表達式，進而可得h（a）的表達式，進而可求出h（a）的最小值．

解答：解：g(x)=

1-ax(1≤x≤2) (1-a)x-1(2＜x≤3)

當1≤x≤2時，g（x）_max=1-a，g（x）_min=1-2a（2分）
當2≤x≤3時，若0≤a≤1，則g（x）在[2，3]上遞增，
g（x）_max=2-3a，g（x）_min=1-2a（4分）
當a＞1時，則g（x）在[2，3]上遞減，
g（x）_max=1-2a，g（x）_min=2-3a（6分）
∴0≤a≤

1

2

時，g(x)max=2-3a，g(x)min=1-2a
當

1

2

≤a≤1時，g(x)max=1-a，g(x)min=1-2a
當a≥1時，g（x）_max=1-a，g（x）_min=2-3a（9分）
∴h(a)=

1-a，0≤a≤ 1 2 a， 1 2 ＜a＜1 2a-1，a≥1

（12分）
當a=

1

2

時，h（a）取最小值為

1

2

（14分）

點評：本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，分段函數，其中分段函數分段處理是解答此類問題的常用方法．