Question

已知三棱錐S-ABC的三條側棱兩兩垂直，側面積為2，則該三棱錐外接球的表面積的最小值為______．

Answer 1

三棱錐的三條側棱兩兩垂直，擴展為長方體，二者的外接球是同一個，
因為三棱錐S-ABC的側面積為2，
設長方體的三同一點出發的三條棱長為：a，b，c，
所以

1

2

（SA•SB+SA•SC+SB•SC）=

1

2

（ab+bc+ac）=2，
?ab+bc+ac=4，
該三棱錐外接球的直徑2R就其長方體的對角線長，
從而有：（2R）²=a²+b²+c²≥ab+bc+ac=4，當且僅當a=b=c時取等號．
∴2R≥2?R≥1，
則該三棱錐外接球的表面積的最小值為4πR²=4π×1²═4π
故答案為：4π．