Question

設a＞0,函數f(x)=.

（1）求證：f(x)有且只有一個極大值點與極小值點；

（2）當極大值為1，極小值為-1時，求a,b的值；

（3）在（2）的條件下，寫出f(x)的單調區間，畫出f(x)的圖象.

Answer 1

（1）證明：f′(x)==.

令f′(x)=0,即ax²+2bx-a=0.                                                   (*)

因為a＞0,所以Δ=(2b)²-4a(-a)=4(b²+a²)＞0,

所以方程(*)有兩個不等實根x₁,x₂(x₁＜x₂＝.當x變化時，f′(x),f(x)的變化情況如下：

x	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f′(x)	-	0	+	0	-
F(x)	↘	極小值	↗	極大值	↙

由上表可知，f(x)只有一個極小值f(x₁),只有一個極大值f（x₂).

（2）解：由（1）知

即

兩式相加，得a(x₁+x₂)+2b=(x₂-x₁)(x₂+x₁).

由方程(*)知.x₁+x₂=-,代入上式，得(x₂-x₁)(-)=0.

因為x₂-x₁≠0,所以b=0,

將b=0,代入方程（*）,得a(x²-1)=0,

因為a＞0,所以x₁=-1,x₂=1,

代入上面的方程ax₁+b=-1-x₁²,得a=2,所以a=2,b=0.

（3）解：由（2）知f(x)=.

由（1）中的表可知，f(x)在（-∞,-1)與（1,+∞)上是減函數，在（-1，1）上是增函數，又f(x)=0,于是f(x)的圖象如上圖.