Question

設a∈R，函數f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(

π

2

-x)滿足f(-

π

3

)=f(0)．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）設銳角△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據三角函數的公式將f（x）進行化簡，然后求函數的單調遞減區間；
（Ⅱ）根據余弦定理將條件進行化簡，即可得到f（A）的取值范圍．

解答：解：（I）f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(

π

2

-x)=

a

2

sin2x-cos2x，
由f(-

π

3

)=f(0)得：-

3 a

4

+

1

2

=-1，
∴a=2

3

．
∴f(x)=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)，
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π得：kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5

6

π，k∈Z
∴f（x）的單調遞減區間為：[kπ+

π

3

，kπ+

5

6

π]．
（II）∵

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，
由余弦定理得：

2accosB

2abcosC

=

ccosB

bcosC

=

c

2a-c

，
即2acosB-ccosB=bcosC，
由正弦定理得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
即cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

∵△ABC銳角三角形，
∴

π

6

＜A＜

π

2

，

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
∴f(A)=2sin(2A-

π

6

)的取值范圍為（1，2]．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，以及正弦定理和余弦定理的應用，考查學生的計算能力．