Question

設a＞0，f(x)=

2x

a

-

a

2x

是R上的奇函數．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）證明：f（x）在R上為增函數；
（Ⅲ）解不等式：f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）是R上的奇函數，得f（0）=0，求出a的值；
（Ⅱ）用單調性的定義證明f（x）在R上是增函數；
（Ⅲ）由f（x）是R上的奇函數，且是增函數，把不等式化為1-m＜m²-1，從而求出m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

2x

a

-

a

2x

是R上的奇函數，
∴f（0）=0，即

1

a

-a=0，
∴a=±1，
∵a＞0，∴取a=1；
（Ⅱ）當a=1時，f（x）=2^x-

1

2x

，現證明f（x）在R上是增函數；
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂；
∴f（x₁）-f（x₂）=（2x1-

1

2x1

）-（2x2-

1

2x2

）
=（2x1-2x2）+

2x1-2x2

2x12x2

=（2x1-2x2）（1+

1

2x12x2

）；
∵x₁＜x₂，
∴0＜2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，1+

1

2x12x2

＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上是增函數；
（Ⅲ）∵f（1-m）+f（1-m²）＜0，
即f（1-m）＜-f（1-m²）；
又∵f（x）是R上的奇函數，
∴-f（1-m²）=f（m²-1），
∴f（1-m）＜f（m²-1）；
又∵f（x）是R上的增函數，
∴1-m＜m²-1，
即m²+m-2＞0，
解得m＞1或m＜-2；
∴解集為{m|m＞1或m＜-2}．

點評：本題考查了函數的單調性與奇偶性的判定與證明以及應用問題，是中檔題．