Question

設a＞0，f(x)=

2x

a

+

a

2x

是R上的偶函數．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：（1）根據偶函數的性質f（-x）=f（x），代入即可求出a的值；
（2）由（1）求出了f（x）的解析式，對f（x）進行求導，證明其導數大于0即可；

解答：解：（1）∵a＞0，f(x)=

2x

a

+

a

2x

是R上的偶函數．
∴f（-x）=f（x），即

2-x

a

+

a

2-x

=

2x

a

+

a

2x

，
∴

1

a•2x

+a•2^x=

2x

a

+

a

2x

，
2^x（a-

1

a

）+

1

2x

（a-

1

a

）=0，
∴（a-

1

a

）（2^x+

1

2x

）=0，∵2^x+

1

2x

＞0，a＞0，
∴a-

1

a

=0，解得a=1，或a=-1（舍去），
∴a=1；
（2）證明：由（1）可知f(x)=2x+

1

2x

，
∴f′(x)=2xln2-

2xln2

22x

=2xln2(1-

1

22x

)=2xln2(

22x-1

22x

)
∵x＞0，
∴2^2x＞1，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

點評：本題主要考查函數單調性的判斷問題．函數的單調性判斷一般有兩種方法，即定義法和求導判斷導數正負．