Question

設a＞0，f(x)=

ax

a+x

令a1=1，an+1=f(an)，n∈N*．
（1）寫出a₂，a₃，a₄的值，并猜想數列{a_n}的通項公式；
（2）用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據所給函數及遞推關系式，進行計算，從而可猜想數列{a_n}的通項公式；
（2）利用數學歸納法的證明步驟，進行證明，注意利用歸納假設．

解答：（1）解：∵a₁=1，∴a2=f(a1)=f(1)=

a

1+a

，a3=f(a2)=

a

2+a

，a4=f(a3)=

a

3+a

，
猜想an=

a

(n-1)+a

，(n∈N+)…（4分）
（2）證明：①n=1時，猜想正確．              …（5分）
②假設n=k時猜想正確，即ak=

a

(k-1)+a

，…（6分）
則ak+1=f(ak)=

a•ak

a+ak

=

a• a (k-1)+a

a+ a (k-1)+a

=

a

(k-1)+a+1

=

a

[(k+1)-1]+a

這說明，n=k+1時猜想正確．                        …（11分）
由①②知，an=

a

(n-1)+a

，(n∈N+)…（12分）

點評：本題考查歸納猜想，考查數學歸納法證明等式，解題的關鍵是先猜后證．