Question

9．若關于x的不等式xln+x-kx+3k＞0對任意x＞1恒成立，則整數k的最大值為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 5

Answer 1

分析 把函數f（x）的解析式代入f（x）+x-k（x-3）＞0，整理后對x討論，x=3，x＞3，1＜x＜3時，運用參數分離，求得最值，主要是x＞3時，求其導函數，得到其導函數的零點x₀位于（13，14）內，且知此零點為函數h（x）的最小值點，經求解知h（x₀）=$\frac{1}{3}$x₀，從而得到k＜$\frac{1}{3}$x₀，則正整數k的最大值可求．

解答 解：關于x的不等式xlnx+x-kx+3k＞0對任意x＞1恒成立，
即k（x-3）＜x+xlnx，
當x=3時，不等式顯然成立；
當x＞3，即有k＜$\frac{xlnx+x}{x-3}$對任意x＞3恒成立．
令h（x）=$\frac{xlnx+x}{x-3}$，
則h′（x）=$\frac{x-6-3lnx}{{（x-3）}^{2}}$，
令φ（x）=x-3lnx-6（x＞3），
則φ′（x）=1-$\frac{3}{x}$＞0，
所以函數φ（x）在（3，+∞）上單調遞增，
因為φ（13）=7-3ln13＜0，φ（14）=8-3ln14＞0，
所以方程φ（x）=0在（3，+∞）上存在唯一實根x₀，且滿足x₀∈（13，14）．
當13＜x＜x₀時，φ（x）＜0，
即h′（x）＜0，當x＞x₀時，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，
所以函數h（x）=$\frac{xlnx+x}{x-3}$在（13，x₀）上單調遞減，
在（x₀，+∞）上單調遞增．
所以[h（x）]_min=h（x₀）=$\frac{{x}_{0}（1+l{nx}_{0}）}{{x}_{0}-3}$=$\frac{{x}_{0}（1+\frac{{x}_{0}-6}{3}）}{{x}_{0}-3}$=$\frac{1}{3}$x₀∈（$\frac{13}{3}$，$\frac{14}{3}$）．
所以k＜[h（x）]_min=$\frac{1}{3}$x₀，
因為x₀∈（13，14）．
故整數k的最大值是4；
當1＜x＜3時，即有k＞$\frac{xlnx+x}{x-3}$對任意x＞3恒成立．
由于x-3＜0，可得 $\frac{xlnx+x}{x-3}$＜0，即有k≥0，
綜上可得，k的最大值為4．
故選：A．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調區間，考查了數學轉化思想，解答此題的關鍵是，在求解函數h（x）的最小值，運用零點存在定理，屬于中檔題．