Question

已知復數z₁滿足（1-i）z₁=1+3i，z₂=a-i（a∈R），其中i為虛數單位．
（1）求z₁
（2）若z₁是關于x的實系數方程x²-px+q=0的一個根，求實數p、q的值．
（3）若 ，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因為復數z₁滿足（1-i）z₁=1+3i，
所以…（3分）
（2））z₁是關于x的實系數方程x²-px+q=0的一個根，實系數方程虛根成對，
由韋達定理可知p=-1+2i+（-1-2i）=-2，q=（-1+2i）（-1-2i）=1+4=5，
所以p=-2，q=5…（6分）
（3）…（8分）
由，∴（-1-a）²+1＞10…（10分）
∴a＜-4，或a＞2故實數a的取值范圍是（-∞，-4）∪（2，+∞）．…（12分）
分析：（1）化簡復數為分式的形式，利用復數同乘分母的共軛復數，化簡為a+bi的形式即可得到z₁．
（2）若z₁是關于x的實系數方程x²-px+q=0的一個根，求出另一個根，利用韋達定理即可求實數p、q的值．
（3）求出的模，利用 ，得到a的關系式，即可求實數a的取值范圍．
點評：本題是中檔題，考查復數的基本運算，復數模的求法，復數方程的應用，考查計算能力．