Question

（2008•崇明縣二模）已知復數z₁滿足（1+i）z₁=1+3i，z₂=1-ai（a∈R）且|z₁-z₂|＜|z₁|
（1）求復數z₁；
（2）求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡復數為分式的形式，利用復數同乘分母的共軛復數，化簡為a+bi的形式即可得到z₁．
（2）表示出|z₁-z₂|＜|z₁|，根據模長之間的關系得到a的關系式，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）z1=

1+3i

1+i

=2+i
另解：設z₁=m+ni（m，n∈R）
所以

m-n=1 m+n=3

解得m=2，n=1，所以z₁=2+i
（2）|2+i-（1+ai）|＜|2+i|

1+(1-a)2

＜

5

解得：-1＜a＜3．

點評：本題考查復數的基本運算，復數模的求法，考查計算能力，本題解題的關鍵是做出復數的代數形式的最簡結果．