Question

如圖所示,在四面體P—ABC中,已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,

PB=.F是線段PB上一點,CF=,點E在線段AB上,且EF⊥PB.

(1)證明PB⊥平面CEF;

(2)求二面角BCEF的大小.

Answer 1

(1)證明:∵PA²+AC²=36+64=100=PC²,∴△PAC是以∠PAC為直角的直角三角形.同理可證,△PAB是以∠PAB為直角的直角三角形,△PCB是以∠PCB為直角的直角三角形.

故PA⊥平面ABC.

又∵S_△PBC=|PC||BC|=×10×6=30,而|PB||CF|=××=30=S_△PBC,

故CF⊥PB.又已知EF⊥PB,

∴PB⊥平面CEF.

(2)解析:由(1)知PB⊥CE,PA⊥平面ABC,

∴AB是PB在平面ABC上的射影,故AB⊥CE.

在平面PAB內,過F作FF₁垂直AB于F₁,則FF₁⊥平面ABC,

EF₁是EF在平面ABC上的射影,

∴EF⊥EC.

故∠FEB是二面角BCEF的平面角,tan∠FEB=cot∠PBA=.

故二面角BCEF的大小為arctan.