Question

如圖所示，在四面體P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=2

34

．F是線段PB上一點，CF=

15

17

34

，點E在線段AB上，且EF⊥PB．
（1）證明：PB⊥平面CEF；
（2）求二面角B-CE-F的大小．

Answer 1

分析：（1）由題意得EF⊥PB，可根據S_△PBC面積的兩種表示形式得出CF⊥PB，從而可證得結論．
（2）在平面PAB內，過F作FF₁垂直AB交AB于F1，則FF₁⊥平面ABC，根據tan∠FEB=cot∠PBA可求得二面角B-CE-F的大小．

解答：（1）證明：∵PA²+AC²=36+64=100=PC²，
∴△PAC是以∠PAC為直角的直角三角形，同理可證：△PAB是以∠PAB為直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB為直角的直角三角形．
故PA⊥平面ABC．
又∵S_△PBC=

1

2

|AC||BC|=

1

2

×10×6=30．
而

1

2

|PB||CF|=

1

2

×2

34

×

15

17

34

=30=S_△PBC．
故CF⊥PB，又已知EF⊥PB，
∴PB⊥平面CEF．
（2）由（1）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC，
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE，
在平面PAB內，過F作FF₁垂直AB交AB于F1，則FF₁⊥平面ABC，

EF₁是EF在平面ABC上的射影，
∴EF⊥EC．
故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角，tan∠FEB=cot∠PBA=

AB

AP

=

10

6

=

5

3

，
二面角B-CE-F的大小為arctan

5

3

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的判定及二面角的知識，有一定難度，關鍵是掌握二面角的求法及直線垂直平面的判定方法．