Question

4．《九章九術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年．例如塹堵指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱；陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐．如圖，在塹堵ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，若A₁A=AB=2，當陽馬B-A₁ACC₁體積最大時，則塹堵ABC-A₁B₁C₁的體積為（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設AC=x，BC=y，由陽馬B-A₁ACC₁體積最大，得到AC=BC=$\sqrt{2}$，由此能求出塹堵ABC-A₁B₁C₁的體積．

解答 解：設AC=x，BC=y，由題意得x＞0，y＞0，x²+y²=4，
∵當陽馬B-A₁ACC₁體積最大，
∴V=$\frac{1}{3}×$2x×y=$\frac{2}{3}xy$取最大值，
∵xy≤$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$=2，當且僅當x=y=$\sqrt{2}$時，取等號，
∴當陽馬B-A₁ACC₁體積最大時，AC=BC=$\sqrt{2}$，
此時塹堵ABC-A₁B₁C₁的體積V=S_ABC•AA₁=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$=2．
故選：C．

點評 本題考查塹堵ABC-A₁B₁C₁的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．