Question

已知直線l：y=2x-4被拋物線C：y²=2px（p＞0）截得的弦長|AB|=3

5

．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若拋物線C的焦點為F，求三角形ABF的面積．

Answer 1

分析：（1）把直線方程與拋物線方程聯立得到根與系數的關系，利用弦長公式即可得出p；
（2）利用點到直線的距離公式即可得出．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵

y=2x-4 y2=2px

⇒2x2-(8+p)x+8=0
而|AB|=3

5

即(3

5

)2=(1+22)[(

8+p

2

)2-4×4]
∴p=2
故拋物線C的方程為：y²=4x．
（2）由（1）知F（1，0），
∴點F到AB的距離d=

2

5

，
∴S△ABF=

1

2

d|AB|=

1

2

×

2

5

×3

5

=3．

點評：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉化為直線方程與拋物線方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式、點到直線的距離公式等是解題的關鍵．