Question

已知直線l：y=2x+1和圓C：x²+y²=4，
（1）試判斷直線和圓的位置關系．
（2）求過點P（-1，2）且與圓C相切的直線的方程．

Answer 1

分析：（1）根據圓的標準方程，找出圓心C的坐標和半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心C到直線l的距離d，判定d與r的大小即可確定出直線l與圓C的位置關系；
（2）設過點P（-1，2）且與圓C相切的直線的方程為x=-1時，不合題意舍去；設過點P（-1，2）且與圓C相切的直線的方程的斜率為k，得出切線方程為kx-y+k+2=0，利用圓心到直線的距離等于半徑列出關于k的方程，求出k值，從而得出切線方程．

解答：解：（1）因為x²+y²=4，
所以圓心為（0，0），半徑r=2．
又因為y=2x+1，
所以圓心到直線的距離為d=

|2×0-0+1|

22+12

=

5

5

＜2=r．
所以直線與圓相交．
（2）設過點P（-1，2）且與圓C相切的直線的方程為x=-1時，不合題意舍去
設過點P（-1，2）且與圓C相切的直線的方程的斜率為k，
則切線方程為kx-y+k+2=0，
由

|k+2|

1+k2

=2，
化簡得3k²-4k=0
解得k=0或k=

4

3

所以切線方程為y=0或4x-3y+10=0

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，要求學生掌握點到直線的距離公式．圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，當d＞r時，直線與圓的位置關系為相離；當d=r時，直線與圓相切；當d＜r時，直線與圓相交．