Question

【題目】如圖，已知是棱長為3的正方體，點在上，點在上，且，（1）求證： 四點共面； （2）若點在上， ，點在上， ，垂足為，求證： 面； （3）用表示截面和面所成銳二面角大小，求．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）四點共面問題通常我們將它們變成兩條直線，然后證明這兩條直線平行或相交，根據公理3的推論2、3可知，它們共面；（2）要證線面垂直，可以證明兩個垂直平面內一條直線垂直兩平面的交線即可；（3）可以證明就是二面角的平面角，在直角三角形中可解得的值.

試題解析：（1）證明：在DD上取一點N使得DN=1，連接CN，EN，顯然四邊形CFDN是平行四邊形，所以DF//CN，同理四邊形DNEA是平行四邊形，所以EN//AD，且EN=AD，又BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四邊形CNEB是平行四邊形，所以

CN//BE，所以DF//BE，所以四點共面。

（2）因為所以∽MBG，所以，即，所以MB=1，因為AE=1，所以四邊形ABME是矩形，所以EM⊥BB又平面ABBA⊥平面BCCB

，且EM在平面ABBA內，所以面

（3）面，所以BF， MH， ，所以∠MHE就是截面和面所成銳二面角的平面角，∠EMH=，所以，ME=AB=3， ∽MHB，所以3：MH=BF：1，BF=，所以MH=，所以=