Question

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當平面ABCD內有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系
，設面PBD的法向量為，則，得面PBD的一個法向量為，
所以點A到平面PBD的距離…（7分）
（2）P（0，0，2）、C（2 ，2，0），則有 =（2 ，2，-2），又 =（0，1，0）
則異面直線PC與AD所成角θ滿足cosθ==，
所以，異面直線PC與AD所成角的大小為60°
設Q（x，y，0），則
∴
化解得3y²-x²=4…（14分）
分析：（1）以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系，進而可求面PBD的一個法向量，利用點A到平面PBD的距離公式求解；
（2）根據cosθ=，故先求相應的向量，從而可求異面直線PC與AD所成角．要使平面ABCD內有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，故由從而可得軌跡方程．
點評：本題以四棱錐為載體，考查點面距離，考查線線角，考查軌跡問題，關鍵是建立空間直角坐標系．