Question

定義在R上的奇函數f（x），當x∈（0，+∞）時，f（x）為減函數，且f（2）=0，則不等式（x-1）f（x）＞0的解集為

 

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Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：奇函數滿足f（2）=0，可得f（-2）=-f（2）=0．對于不等式（x-1）f（x）＞0，當x＞1時，f（x）＞0=f（2），由于x∈（0，+∞）時，f（x）為減函數，可得1＜x＜2．
當x＜0時，利用其單調性奇偶性可得-2＜x＜0．當0≤x≤1時，不等式的解集為∅．即可得出．

解答： 解：∵奇函數滿足f（2）=0，
∴f（-2）=-f（2）=0．
對于不等式（x-1）f（x）＞0，當x＞1時，f（x）＞0=f（2），
∵x∈（0，+∞）時，f（x）為減函數，
∴1＜x＜2．
當x＜0時，不等式（x-1）f（x）＞0，化為f（x）＜0=f（-2），
∵當x∈（0，+∞）時，f（x）為減函數，
∴函數f（x）在（-∞，0）上單調遞減，
∴-2＜x＜0．
當0≤x≤1時，不等式的解集為∅．
綜上可得：不等式的解集為（-2，0）∪（1，2）．
故答案為：（-2，0）∪（1，2）．

點評：本題考查了函數的奇偶性、單調性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．