Question

如圖扇形AOB是一個觀光區的平面示意圖，其中∠AOB的圓心角為，半徑OA為1km。為了便于游客觀光休閑，擬在觀光區內鋪設一條從入口A到出口B的觀光道路，道路由弧AC、線段CD及線段BD組成，其中D在線段OB上，且CD∥AO，設∠AOC=θ，
（Ⅰ）用θ表示CD的長度，并寫出θ的取值范圍；
（Ⅱ）當θ為何值時，觀光道路最長？

Answer 1

解：（Ⅰ）在△OCD中，由正弦定理，得，
又CD∥AO，CO=1，∠AOC=θ，
所以，
因為OD＜OB，所以，
所以，
所以，
θ的取值范圍為；
（Ⅱ）設道路長度為L（θ），
則L（θ）=BD+CD+弧CA的長
，
L′（θ）=，
由L′（θ）=0，得，
又，
所以，列表

所以當時，L（θ）達到最大值，
即當時，觀光道路最長。