Question

如圖扇形AOB是一個觀光區的平面示意圖，其中∠AOB的圓心角為，半徑OA為1Km，為了便于游客觀光休閑，擬在觀光區內鋪設一條從入口A到出口B的觀光道路，道路由圓弧AC、線段CD及線段BD組成．其中D在線段OB上，且CD∥AO，設∠AOC=θ，
（1）用θ表示CD的長度，并寫出θ的取值范圍．
（2）當θ為何值時，觀光道路最長？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用θ表示CD的長度的關鍵是在△COD中正確利用正弦定理；
（2）首先將道路長度L（θ）表達成θ的函數關系式，再利用導數方法研究函數的最大值，從而可以求得θ=時，觀光道路最長．．
解答：解：（1）在△COD中，由正弦定理得，又CD∥AO，CO=1，∠AOC=θ，所以
因為OD＜OB，所以，所以，所以
，θ的取值范圍為
（2）設道路長度L（θ），則，
由L′（θ）=0得，又，所以
易得時，L（θ）取到最大值，即θ=時，觀光道路最長．
點評：解決實際問題的關鍵在于建立數學模型和目標函數，把“問題情境”譯為數學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系抽象成數學問題，在數學領域尋找適當的方法解決，再返回到實際問題中加以說明．