Question

已知矩陣A=

3 3 c d

，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α1=

1 1

，屬于特征值1的一個特征向量為α2=

3 -2

．
（1）求矩陣A；
（2）判斷矩陣A是否可逆，若可逆求出其逆矩陣．

Answer 1

分析：（1）由Aα₁=6α₁，Aα₂=α₂，知

3 3 c d

1 1

=6

1 1

，

3 3 c d

3 -2

=

3 -2

，由此能求出矩陣A．
（2）由detA=

.

3 3 2 4

.

=6≠0，能求出矩陣A的逆矩陣．

解答：解：（1）∵Aα₁=6α₁，Aα₂=α₂，
∴

3 3 c d

1 1

=6

1 1

，得c+d=6，①（2分）

3 3 c d

3 -2

=

3 -2

，得，3c-2d=-2②（4分）
由①②聯立，解得，c=2，d=4，
∴A=

3 3 2 4

．（6分）
（2）detA=∵

.

3 3 2 4

|=6≠0，
∴矩陣A可逆，（8分）
∴A-1=

2 3 - 1 2 - 1 3 1 2

．（10分）

點評：本題考查矩陣和矩陣的逆陣的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．