Question

已知矩陣A=

3 3 c d

，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為

α1

=

1 1

，屬于特征值1的一個特征向量

α2

=

3 -2

．
（Ⅰ）求矩陣A的逆矩陣；
（Ⅱ）計算A³

-1 4

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據特征值的定義可知Aα=λα，利用待定系數法建立方程，求出A，即可求矩陣A的逆矩陣；
（Ⅱ）（Ⅱ）

-1 4

=2

1 1

-

3 -2

，即可計算A³

-1 4

的值．

解答：解：（Ⅰ）依題意，

c+d=6 3c-2d=-2

，∴

c=2 d=4

.A=

3 3 2 4

．…（2分）
所以A-1=

2 3 - 1 2 - 1 3 1 2

…（4分）
（Ⅱ）

-1 4

=2

1 1

-

3 -2

…（5分）
A³

-1 4

=2×63

1 1

-13

3 -2

=

429 434

…（7分）

點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，屬于基礎題．