Question

設a＞0，函數f（x）=

1

2

x2-(a+1)x+a(1+ln x)．
（1）求曲線y=f（x）在（2，f（2））處與直線y=-x+1垂直的切線方程；
（2）求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用曲線y=f（x）在（2，f（2））處與直線y=-x+1垂直，求出a的值，從而可得切線方程；
（2）求導數，分類討論，利用導數的正負，確定函數的單調性，從而可求函數的極值．

解答：解：（1）∵函數f（x）=

1

2

x2-(a+1)x+a(1+ln x)
∴f′(x)=x-a-1+

a

x

∵曲線y=f（x）在（2，f（2））處與直線y=-x+1垂直
∴2-a-1+

a

2

=1
∴a=0
∴f（x）=

1

2

x2-x
∴f（2）=0
∴所求切線方程為y-0=x-2，即x-y-2=0；
（2）f′(x)=x-a-1+

a

x

=

(x-1)(x-a)

x

（x＞0）
∴a≤0時，函數在（-∞，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，∴函數在x=1時，取得極小值-

1

2

；
0＜a＜1時，函數在（a，1）上單調遞減，在（0，a）、（1，+∞）上單調遞增，∴函數在x=1時，取得極小值-

1

2

，在x=a時，函數取得極大值-

1

2

a2+alna；
a=1時，f′（x）≥0，函數在（0，+∞）上單調遞增，∴函數無極值；
a＞1時，函數在（1，a）上單調遞減，在（0，1）、（a，+∞）上單調遞增，∴函數在x=1時，取得極大值-

1

2

，在x=a時，函數取得極小值-

1

2

a2+alna．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與極值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．