Question

設a＞0，函數f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調函數．則實數a的取值范圍為

（0，3]

．

Answer 1

分析：函數f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調函數?f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立?a≤3x²在[1，+∞）上恒成立．再利用二次函數的單調性即可得出．

解答：解：f′（x）=3x²-a．
∵函數f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調函數，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立；
∴a≤3x²在[1，+∞）上恒成立．
∴a≤3×1²=3，又a＞0，
∴0＜a≤3．
故答案為（0，3]．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、二次函數的單調性及其把問題正確等價轉化等是解題的關鍵．