Question

設a＞0，函數f （x） 是定義在（0，+∞）的單調遞增的函數且f （

ax

x-1

）＜f（2），試求x的取值范圍．

Answer 1

分析：由已知中a＞0，函數f （x） 是定義在（0，+∞）的單調遞增的函數且f （

ax

x-1

）＜f（2），我們可得到一個關于x的不等式（含參數a），根據二次不等式的解法，分a=2時，0＜a＜2時和當a＞2時，三種情況討論，即可得到x的取值范圍．

解答：解∵函數f （x） 是定義在（0，+∞）的單調遞增的函數又∵a＞0∴由

ax

x-1

＞0可以解得x＞1或x＜0．    （2分）
又

ax

x-1

＜2?

(a-2)x+2

x-1

＜0?(x-1)[(a-2)x+2]＜0（2分）
（1）當a=2時，原不等式?x＜0；                        （3分）
（2）當0＜a＜2時，原不等式?x＜0或x＞

-2

a-2

；         （3分）
（3）當a＞2時，原不等式?

-2

a-2

＜x＜0．（3分）

點評：本題考查的知識點是函數的單調性的性質，一元二次不等式的解法，其中根據已知條件，結合函數單調性，將f （

ax

x-1

）＜f（2），轉化為（x-1）[（a-2）x+2]＜0是解答本題的關鍵，本題易忽略a=2時的情況，造成答案的不完整！