Question

設a＞0，函數f(x)=x+

a2

x

，g(x)=x-lnx，若對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：先對函數g（x）求導判斷出函數g（x）的單調性并求其最大值，然后對函數f（x）進行求導判斷單調性求其最小值，最后令函數f（x）的最小值大于等于函數g（x）的最大值即可．

解答：解：∵g（x）=x-lnx∴g'（x）=1-

1

x

，x∈[1，e]，g'（x）≥0 函數g（x）單調遞增
g（x）的最大值為g（e）=e-1
∵f（x）=x+

a2

x

∴f'（x）=

x 2-a2

x 2

，令f'（x）=0∵a＞0∴x=a
當0＜a＜1 f（x）在[1，e]上單調增 f（1）_最小=1+a²≥e-1∴1＞a≥

e-2

當1≤a≤e 列表可知 f（a）_最小=2a≥e-1 恒成立
當a＞e時 f（x）在[1，e]上單調減 f（e）_最小=

e2+a2

e

≥e-1 恒成立
綜上a≥

e-2

故答案為：a≥

e-2

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．