Question

已知函數f （x）=2sinx（cosx+sinx）-1，若α為三角形的內角，且f（

α

2

-

π

8

）=

2

3

，求f（α）的值．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,二倍角的正弦

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：利用三角恒等變換把函數f（x）化為一個角的三角函數，由f（

α

2

-

π

8

）=

2

3

，且α為三角形的內角，求出α的值，計算f（α）即可．

解答： 解：∵函數f（x）=2sinx（cosx+sinx）-1
=2sinxcosx+2sin²x-1
=sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

），
∵f（

α

2

-

π

8

）=

2

3

，
∴

2

sin[2（

α

2

-

π

8

）-

π

4

]=

2

sin[α-

π

2

]=

2

（-cosα）
=-

2

cosα=

2

3

，
∴cosα=-

1

3

；
∴sinα=

2 2

3

，
∴f（α）=2×

2 2

3

×（-

1

3

+

2 2

3

）-1=

7-4 2

9

．

點評：本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了三角恒等變換的應用問題，考查了三角函數的求值問題，綜合性較強，屬于中檔題．