Question

17．某同學用“五點法”畫函數f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
f（x）	0	3	0	-3	0

（1）請將表中數據補充完整，并直接寫出函數f（x）的解析式；
（2）若將函數f（x）的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數g（x）的圖象，求當x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]時，函數g（x）的值域；
（3）若將y=f（x）圖象上所有點向左平移θ（θ＞0）個單位長度，得到y=h（x）的圖象，若=h（x）圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{12}，0$），求θ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由表中數據列關于ω、φ的二元一次方程組，求得A、ω、φ的值，得到函數解析式，進一步完成數據補充．
（2）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律可求g（x），利用正弦函數的性質可求其值域．
（3）由（1）及函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律得g（x），令2x+2θ+$\frac{π}{6}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ，k∈Z．令：$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ=$\frac{π}{12}$，結合θ＞0即可解得θ的最小值．

解答 解：（1）根據表中已知數據，解得A=3，ω=2，φ=$\frac{π}{6}$，
數據補全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
f（x）	0	3	0	-3	0

函數表達式為f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）將函數f（x）的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，
得到圖象對于的函數解析式為：g（x）=3sin（x+$\frac{π}{6}$）．
由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，可得：x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，可得：sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
可得：函數g（x）=3sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{3}{2}$，3]．
（3）若將y=f（x）圖象上所有點向左平移θ（θ＞0）個單位長度，得到y=h（x）的圖象，若h（x）圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{12}，0$），
由（Ⅰ）知f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$），得g（x）=3sin（2x+2θ+$\frac{π}{6}$）．
因為y=sinx的對稱中心為（kπ，0），k∈Z．
令2x+2θ+$\frac{π}{6}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ，k∈Z．
由于函數y=g（x）的圖象關于點（$\frac{π}{12}$，0）成中心對稱，令：$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ=$\frac{π}{12}$，
解得θ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z．由θ＞0可知，當k=1時，θ取得最小值$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解函數解析式，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律的應用，考查了正弦函數的圖象和性質的應用，其中關鍵是要根據圖象分析出函數的最值，周期等，進而求出A，ω和φ值，屬于中檔題．