Question

已知定義在正實數集上的函數f(x)＝x²＋2ax，g(x)＝3a²lnx＋b，其中a>0，設兩曲線y＝f(x)，y＝g(x)有公共點，且在該點處的切線相同．

(1)用a表示b；

(2)求F(x)＝f(x)－g(x)的極值；

(3)求b的最大值．

Answer 1

解析　(1)設y＝f(x)與y＝g(x)的公共點為(x₀，y₀)．

∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，由題意f(x₀)＝g(x₀)，f′(x₀)＝g′(x₀)．

即有

(2

則F′．

所以F(x)在(0，a)上為減函數，在(a，＋∞)上為增函數．

于是函數F(x)在x＝a時有極小值，

F(x)_極小＝F(a)＝F(x₀)＝f(x₀)－g(x₀)＝0，

F(x)＝f(x)－g(x)＝x²＋2ax－3a²lnx－b(x>0)無極大值．

(3)由(1)知令h(t)＝t²－3t²lnt(t>0)，

則h′(t)＝2t(1－3lnt)．

當t(1－3lnt)>0，即，h′(t)>0；

當t(1－3lnt)<0，即時，h′(t)<0.

故h(t)在()為增函數，在()為減函數．

于是h(t)在(0，＋∞)上的極大值即為最大值：.

即b的最大值為.