Question

已知定義在正實數集上的函數f（x）滿足①若x＞1，則f（x）＜0；②f(

1

2

)=1；③對定義域內的任意實數x，y，都有：f（xy）=f（x）+f（y），則不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集為

 

．

Answer 1

分析：用函數的單調性求解，先證明單調性，設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則有f（x₂）=f（

x2

x1

•x1）=f（

x2

x1

）+f（x₁），f（x₂）-f（x₁））=f（

x2

x1

）＜0，得到f（x）是減函數，然后構造單調性模型，由f(

1

2

)=1求得2=2f(

1

2

)=f（

1

4

），再令x=y=1，求得f（1）=0，最后用定義求解，要注意所在的區間．

解答：解：∵f(

1

2

)=1
∴2=2f(

1

2

)=f（

1

4

）
令x=y=1
∴f（1）=0
∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴不等式f（x）+f（5-x）≥-2可轉化為：
f（x（5-x））+f（

1

4

）≥0
∴f（

1

4

x（5-x））≥f（1）
設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂
∴f（x₂）=f（

x2

x1

•x1）=f（

x2

x1

）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁））=f（

x2

x1

）＜0
∴f（x）是減函數
∴

x＞0 5-x＞0 1 4 x(5-x)≤1

解得：0＜x≤1或4≤x＜5
故答案為：（0，1]∪[4，5）

點評：本題主要考查抽象函數所構造不等式的解法，一般來講，這類不等式的解法利用函數的單調性定義求解，要注意利用主條件等價轉化構造函數單調性模型，將函數值關系轉化為自變量關系解決．