Question

已知函數f（x）=-4sin²x+4

3

sinxcosx+m-2，當x∈(0，

π

2

]時f（x）的最小值為-5，求m的值．

Answer 1

分析：利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡函數解析式，合并后再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由x的范圍求出這個角的范圍，求出正弦函數的值域，進而表示出函數f（x）的最小值，根據最小值為-5列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：函數f（x）=-4sin²x+4

3

sinxcosx+m-2
=-4×

1-cos2x

2

+2

3

sin2x+m-2
=2cos2x+2

3

sin2x+m-4
=4sin（2x+

π

6

）+m-4，
當x∈(0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

]，
∴4sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴函數f（x）的最小值為4×（-

1

2

）+m-4=-5，
解得m=1．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，以及正弦函數的定義域及值域，利用三角函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的正弦函數是解本題的關鍵．