Question

若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立，則稱(chēng)f（x）為虛界函數(shù)，給出下列函數(shù)：
①f（x）=0；
②f（x）=x²；
③f（x）=sinx+cosx；
④f（x）=

x

x2+x+1

；
⑤f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|．
其中是虛界函數(shù)的序號(hào)為

①④⑤

．

Answer 1

分析：根據(jù)虛界函數(shù)的定義進(jìn)行判定：對(duì)于①可以利用定義直接加以判斷；②利用新定義|f（x）|≤M|x|，|x|≤M，對(duì)其進(jìn)行判斷；③利用特殊值法進(jìn)行判斷，令x=0進(jìn)行判斷；對(duì)于④，需要通過(guò)討論，將不等式變形為|

x

x2+x+1

|≤m，可以求出符合條件的m的最小值，從而求解；⑤f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，故|f（x）|是偶函數(shù)，可以求出M的范圍，從而求解；

解答：解：對(duì)于①f（x）=0，顯然對(duì)任意常數(shù)m＞0，均成立，故f（x）為虛界函數(shù)，故①正確；
②f（x）=x²，|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在這樣的M對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故②不是虛界函數(shù)
③f（x）=sinx+cosx，由于x=0時(shí)，||f（x）|≤M|x|可得1≤0不成立，故③錯(cuò)誤；
④f(x)=

x

x2+x+1

，|f（x）|=

1

x+x+1

|x|≤

4

3

|x|，故對(duì)任意的m＞

4

3

都有|f（x）|＜m|x|，故其是虛界函數(shù)，g故④正確；
⑤f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，故|f（x）|是偶函數(shù)，
因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|得到，|f（x）|≤|x|成立，存在M≥1＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，符合題意，故⑤正確．
故答案為：①④⑤；

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，主要考查根據(jù)所給的新定義來(lái)驗(yàn)證函數(shù)是否滿足定義中的規(guī)則，是函數(shù)知識(shí)的給定應(yīng)用題，綜合性較強(qiáng)，做題時(shí)要注意運(yùn)用所深知識(shí)靈活變化進(jìn)行證明，考查學(xué)生的閱讀理解能力與分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，解答的關(guān)鍵是對(duì)選支逐個(gè)加以分析變形，利用函數(shù)、不等式的進(jìn)行檢驗(yàn)，方可得出正確結(jié)論．