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已知函數f(x)=2cos2x+sinx
(Ⅰ)若函數f(x)的定義為R,求函數f(x)的值域;
(Ⅱ)函數f(x)在區間[0,
π2
]
上是不是單調函數?請說明理由.
分析:(Ⅰ)利用f(x)=2cos2x+sinx=-2(sinx-
1
4
)
2
+
17
8
及-1≤sinx≤1,即可求得函數f(x)的值域;
(Ⅱ)(證法一):f′(x)=-4cosxsinx+cosx=cosx(1-4sinx),設α=arcsin
1
4
,易證當x∈(0,α)時,f′(x)>0,當x∈(α,
π
2
)時,f′(x)<0,從而知f(x)在區間[0,
π
2
]上不是單調函數;
(證法二:利用f(0)=f(
π
6
)=2,且[0,
π
6
]?[0,
π
2
],即可判定f(x)在區間[0,
π
2
]上不是單調函數.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=-2sin2x+sinx+2=-2(sinx-
1
4
)
2
+
17
8

∴當sinx=-1時,f(x)取得最小值-1,
當sinx=
1
4
時,f(x)取得最大值
17
8

∴函數f(x)的值域為[-1,
17
8
];
(Ⅱ)f(x)在區間[0,
π
2
]上不是單調函數;
(證法一):∵f′(x)=-4cosxsinx+cosx=cosx(1-4sinx),
設α=arcsin
1
4
,可知:當x∈(0,α)時,f′(x)>0,
∴f(x)在區間(0,arcsin
1
4
)上單調遞增;
當x∈(α,
π
2
)時,f′(x)<0,
∴f(x)在區間(α,
π
2
)上單調遞減.
∴f(x)在區間[0,
π
2
]上不是單調函數.
(證法二:∵f(0)=f(
π
6
)=2,且[0,
π
6
]?[0,
π
2
],
∴f(x)在區間[0,
π
2
]上不是單調函數.
點評:本題考查三角函數中的恒等變換應用,考查三角函數的最值,突出考查三角函數單調性的判斷,考查創新思維與論證能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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已知函數f(x)=2-
1
x
,(x>0),若存在實數a,b(a<b),使y=f(x)的定義域為(a,b)時,值域為(ma,mb),則實數m的取值范圍是(  )

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