Question

已知函數(shù)f（x）=2-

1

x

，（x＞0），若存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使y=f（x）的定義域?yàn)椋╝，b）時(shí)，值域?yàn)椋╩a，mb），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A．（-∞，1）
• B．（0，1）
• C．（0，

  1

  4

  ）
• D．（-1，1）

Answer 1

分析：由題意可得 b＞a＞0，m＞0，故有 

f(a)=2- 1 a =ma f(b)=2- 1 b =mb

，故a，b是方程mx²-2x+1=0的兩個(gè)不等正實(shí)根，再利用
二次函數(shù)的性質(zhì)求得m的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答：解：由于y=f（x）=2-

1

x

 （x＞0）的定義域?yàn)椋╝，b）時(shí)，值域?yàn)椋╩a，mb），
可得 b＞a＞0，且mb＞ma，由此解得m＞0．
故有 

f(a)=2- 1 a =ma f(b)=2- 1 b =mb

，
∴a，b是方程mx²-2x+1=0的兩個(gè)不等正實(shí)根．
設(shè)g（x）mx²-2x+1，則有二次函數(shù)g（x）的對(duì)稱軸為x=

2

m

，函數(shù)g（x）的圖象和x軸的正半軸有2個(gè)交點(diǎn)．
故有

△=4-4m＞0 g(0) =0-0+1＞0 2 m ＞0

，由此解得0＜m＜1．
綜上可得，0＜m＜1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等，考查了推理判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．