Question

滬杭高速公路全長166千米．假設某汽車從上海莘莊鎮進入該高速公路后以不低于60千米/時且不高于120千米/時的速度勻速行駛到杭州．已知該汽車每小時的運輸成本y（以元為單元）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/時）的平方成正比，比例系數為0.02；固定部分為200元．
（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數，并指出這個函數的定義域；
（2）汽車應以多大速度行駛才能使全程運輸成本最小？最小運輸成本為多少元？

Answer 1

分析：（1）因為運輸成本y（以元為單元）由可變部分和固定部分組成，固定部分是200，可變部分與速度v（千米/時）的平方成正比，比例系數為0.02，可求出可變部分為0.02v²，則y即可．
（2）根據a+

1

a

≥2當且僅當a=

1

a

時取等號求出即可．

解答：解：（1）依題意得：y=（200+0.02v²）×

166

v

=166（0.02v+

200

v

）（60≤v≤120）．
（2）y=166（0.02v+

200

v

）≥166×4=664（元）
當且僅當0.02v=

200

v

即v=100千米/時時取等號．
答：當速度為100千米/時時，最小的運輸成本為644元．

點評：考查學生會根據題意列出函數關系，掌握基本不等式在最值問題中的應用．