Question

已知函數f(x)=3

4-x

+4

x-3

，則函數f(x)的值域為（　　）

A．[0，5]

B．[3，4]

C．[3，5]

D．[4，5]

Answer 1

分析：先求函數的定義域，利用換元法將函數轉換為三角函數，利用三角函數的性質求函數的值域．

解答：解：要使函數有意義，則

4-x≥0 x-3≥0

，即3≤x≤4．則0≤x-3≤1，設x-3=sin²θ，0≤θ≤

π

2

，則x=3+sin²θ，
所以函數等價為y=3

4-3-sin?2θ

+4

sin?2θ

=3

1-sin?2θ

+4

sin?2θ

=3

cos?2θ

+4

sin?2θ

=3cos?θ+4cos?θ=5sin?(θ+?)，
∵0≤θ≤

π

2

，所以當φ+θ=

π

2

時取最大值5．
當x=3時，有最小值3．
故函數的值域為[3，5]．
故選C．

點評：本題主要考查函數值域的求法，利用三角換元法是解決本題的關鍵．本題難度較大．