Question

求證：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內．

Answer 1

答案：
解析：

　　答案：已知：四條直線a、b、c、d兩兩相交，且不過同一點．

　　求證：a、b、c、d共面．

　　(1)若a、b、c、d四條直線中有三條共點，不妨設a∩b∩c＝A，a∩d＝B，b∩d＝C，c∩d＝D，且相交直線a、d所確定的平面為α，圖象如圖所示．

　　∵A∈a，aα，∴A∈α．∵C∈d，dα，∴C∈α．∴ACα，即bα．

　　同理，cα．∴a、b、c、d共面于α．

　　(2)若a、b、c、d四直線無三條直線共點，設a∩b＝A，a∩c＝B，b∩c＝C，且相交直線a、b確定的平面為α，圖象如圖所示．

　　∵B∈a，aα，∴B∈α．同理C∈α．∴BCα，即cα．同理dα．∴a、b、c、d共面于α．

　　綜合(1)(2)可知，a、b、c、d四線共面．

　　思路解析：四條直線兩兩相交且不過同一點，又可分成兩種情況：一是有三條直線共點，這同教材例1；二是任何三條直線都不共點．因而本題需分類后各自證明．

　　證明時可以先用公理3，通過兩條相交線確定一個平面，再用公理1證明其他直線也在這個平面內．

提示：

四條直線兩兩相交且不通過同一個點，但沒有說明其中的三條直線是否交于一點，故應給予討論．本例為證明線共面、線共點、點共線、點共面提供了很好的范例，即采用先證明兩條直線共面，再證明其他直線也在這個平面內．