Question

某工廠用7萬元錢購買了一臺新機器，運輸安裝費用2千元，每年投保、動力消耗的費用也為2千元，每年的保養、維修、更換易損零件的費用逐年增加，第一年為2千元，第二年為3千元，第三年為4千元，依此類推，即每年增加1千元．
（Ⅰ）求使用n年后，保養、維修、更換易損零件的累計費用S（千元）關于n的表達式；
（Ⅱ）問這臺機器最佳使用年限是多少年？并求出年平均費用（單位：千元）的最小值．（最佳使用年限是指使年平均費用最小的時間，年平均費用=（購入機器費用+運輸安裝費用+每年投保、動力消耗的費用+保養、維修、更換易損零件的累計費用）÷機器使用的年數 ）

Answer 1

分析：（I）根據已知可得保養、維修、更換易損零件的費用成等差數列，根據首項公式，可得累計費用的表達式；
（II）由（I）得到平均費用的表達式，結合基本不等式可得年平均費用的最小值．

解答：解：（I）∵第一年為2千元，第二年為3千元，第三年為4千元，每年增加1千元
故每年的費用構造一個以2為首項，以1為公差的等差數列
∴前n年的總費用S=2+3+…+n+1=

n(n+3)

2

，
（II）設使用n年的年平均費用為y，則
y=（72+2+2n+

n(n+3)

2

）÷n
=

72

n

+

n

2

+

7

2

≥2

36

+

7

2

=

31

2

當

72

n

與

n

2

，即n=12時取等號．
故最佳使用年限是12年，這時年平均費用最小，為

31

2

千元/年

點評：本題考查的知識點是等差數列求和，基本不等式，分析是題意，提煉出數學模型是解答的關鍵．