Question

橢圓（a＞b＞0），直線y=k（x-1）經過橢圓C的一個焦點與其相交于點M，N，且點在橢圓C上．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若線段MN的垂直平分線與x軸相交于點P，問：在x軸上是否存在一個定點Q，使得為定值？若存在，求出點Q的坐標和的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）確定橢圓的焦點，利用點在橢圓C上，建立方程，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（II）直線y=k（x-1）與橢圓方程聯立，利用韋達定理，確定MN垂直平分線方程，|MN|，可得P的坐標，從而可得結論．
解答：解：（I）由題意，橢圓的一個焦點為（1，0），
又∵點在橢圓C上，
∴
∴a²=4，b²=3
∴橢圓C的方程為；
（II）存在，
直線y=k（x-1）與橢圓方程聯立可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，，
∴
∴MN垂直平分線方程為
令y=0，可得x=
∴P（，0），
設Q（a，0），則|PQ|=
∵|MN|==，
∴=
∴a=7時，=
∴Q（7，0）．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．