Question

已知E、F分別為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中點，設α為二面角D-AE-D₁的平面角，求sinα=（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  5

  3

• C、

  2

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：建立空間坐標系，求出平面AEFD₁的法向量和平面AECD的一個法向量，代入向量夾角問題，是解答的關鍵．

解答： 解：建立如圖所示的空間坐標系，

令正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
則

AE

=（2，1，0），

AD1

=（0，2，2），
設平面AEFD₁的法向量為

m

=（x，y，z），
則由

m • AE =0 m • AD1 =0

得

2x+y=0 2y+2z=0

，
令x=1，則y=-2，z=2，
故

m

=（1，-2，2），
又由

AA1

=（0，0，2）為平面AECD的一個法向量，α為D-AE-D的平面角，
∴cosα=

| AA1 • m |

| AA1 |•| m |

=

4

3•2

=

2

3

，
故sinα=

5

3

，
故選：B

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，建立空間坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題是解答的關鍵．