Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為， 為該橢圓的右焦點，過點任作一直線交橢圓于兩點，且的最大值為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的左頂點為，若直線分別交直線于兩點，求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據題意列出關于 、 、的方程組，結合性質 ， ，求出 、 、，即可得結果；（2）直線，直線與曲線聯立得，根據韋達定理，化簡可得，從而可得結果.

試題解析：（1）依題意知： ， ，

即；

所求橢圓的方程： ．

（2）由（1）知， ；

（ⅰ）當直線斜率不存在時， ；

直線 ；

所以,同理；即；

即；所以．

（ⅱ）當直線斜率存在時，設直線，

，

由得：

即， ，

由三點共線得： ，同理

即, ,

∴

即

所以．

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系和數量積公式，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或 ；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.