Question

【題目】已知函數.

（1）若在區間有最大值，求整數的所有可能取值；

（2）求證：當時， .

Answer 1

【答案】（1） ；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）在區間有最大值，即是在區間有極大值，求出，求出極大值點 ，令 ，從而可得結果；（2）等價于，只需證明即可.

試題解析：（1）f′(x)＝（x2＋x－2）ex，

當x<－2時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，

當－2＜x＜1時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，

當x＞1時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，

由題知：a＜－2＜a+5，得：－7＜a＜－2，

則a＝－6、－5、－4、－3，

當a＝－6、－5、－4，顯然符合題意，

若a＝－3時，f(－2)＝5e―2，f(2)＝e2，f(－2)＜f(2)，不符合題意，舍去．

故整數a的所有可能取值－6，―5，－4．

（2）f(x)＜－3lnx＋x3+(2x2－4x)ex+7可變為(－x2＋3x－1)ex＜－3lnx＋x3+7，

令g(x)＝(－x2＋3x－1)ex，h(x)=－3lnx＋x3+7，

g′(x)＝(－x2＋x＋2)ex，

0＜x＜2時，g′(x)＞0，g(x)單調遞增，

當x＞2時，g′(x)＜0，g(x)單調遞減，

g(x)的最大值為g(2)＝e2，

h′(x)＝，當0＜x＜1時，h′(x)＜0，h(x)單調遞減，

當x＞1時，h′(x)＞0，h(x)單調遞增，

h(x)的最小值為h(1)＝8＞e2，

g(x)的最大值小于h(x)的最小值，

故恒有g(x)＜h(x)，即f(x)＜－3lnx＋x3+(2x2－4x)ex+7．