Question

已知△ABC的三內角A、B、C所對的邊的長分別為a、b、c，設向量

m

=(a-c，a-b)，

n

=(a+b，c)且

m

∥

n

（1）求∠B；
（2）若a=1，b=

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由題設條件中的兩向量平行，直接得到a²+c²-b²=ac，整理成角的余弦定理變式的形式，即可得到角B的余弦值，然后求出角B．
（2）根據題設條件，先用正弦定理求出角A，再由內角和定理求出角C，下用面積公式即可求得△ABC的面積．

解答：解：（1）∵

m

=(a-c，a-b)，

n

=(a+b，c)且

m

∥

n

∴（a-c）c-（a+b）（a-b）=0，∴a²+c²-b²=ac（2分）
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

（4分）
又∵0＜B＜π∴B=

π

3

（6分）
（2）∵a=1，b=

3

，由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

∴

1

sinA

=

3

sin π 3

∴sinA=

1

2

（8分）
∴a＜b∴A＜B∴A=

π

6

∴c=π-(A+B)=π-(

π

3

+

π

6

)=

π

2

（10分）
∴S△ABC=

1

2

ab=

1

2

×1×

3

=

3

2

（12分）

點評：本題的一大亮點是用向量的方式來給出題設條件，達到了考查知識間的橫向聯系的目的，同時本題對答題者公式掌握的熟練程度要求較高，訓練讀者認識到靈活的變形的依據是公式與定理．