Question

“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示雙曲線”的（　　）

A．充分但不必要條件

B．必要但不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件

Answer 1

分析：先證明充分性，把方程化為

x2

1 m

+

y2

1 n

=1，由“mn＜0”，可得

1

m

、

1

n

異號，可得方程表示雙曲線，由此可得“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示雙曲線”的充分條件；再證必要性，先把方程化為

x2

1 m

+

y2

1 n

=1，由雙曲線方程的形式可得

1

m

、

1

n

異號，進而可得mn＜0，由此可得“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示雙曲線”的必要條件；綜合可得答案．

解答：解：若“mn＜0”，則m、n均不為0，方程mx²+ny²=1，可化為

x2

1 m

+

y2

1 n

=1，
若“mn＜0”，

1

m

、

1

n

異號，方程

x2

1 m

+

y2

1 n

=1中，兩個分母異號，則其表示雙曲線，
故“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示雙曲線”的充分條件；
反之，若mx²+ny²=1表示雙曲線，則其方程可化為

x2

1 m

+

y2

1 n

=1，
此時有

1

m

、

1

n

異號，則必有mn＜0，
故“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示雙曲線”的必要條件；
綜合可得：“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示雙曲線”的充要條件；
故選C．

點評：本題考查雙曲線的方程形式與充分必要條件的判斷，關鍵在于掌握二元二次方程mx²+ny²=1表示雙曲線條件．