Question

【題目】已知雙曲線的焦點在x軸上，焦距為，實軸長為2

（1）求雙曲線的標準方程與漸近線方程。

（2）若點 在該雙曲線上運動，且， ，求以 ， 為相鄰兩邊的平行四邊形 的頂點 的軌跡．

Answer 1

【答案】（1）雙曲線的方程為 ，漸近線方程為 （2）

【解析】試題分析：（1）根據焦距為 可得 ，由實軸長為 可得 ，從而可得 ，于是可得雙曲線的標準方程與漸近線方程；（2）設點 的坐標為 ，點 的坐標為 ，則線段 的中點 的坐標為 ，根據平行四邊形的性質可得 所以 ，代入雙曲線方程得結果.

試題解析：（1）由題意可知，，所以，所以雙曲線的方程為

，漸近線方程為；

（2）設點 的坐標為 ，點 的坐標為 ，

則線段 的中點 的坐標為

由平行四邊形的性質，點 也是線段 的中點，

所以有

因此 可用 ， 表示，得 ①

又由于 在曲線 上，因此， ②

①代入②，得 ．

因為平行四邊形不可能有兩個以上的頂點在一條直線上，

所以動點 的軌跡是除去兩點 ， 的曲線 ．