Question

【題目】已知數列的前項和為，且.

（1）求數列的通項公式；

（2）若，求數列的前項和.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）由，可得，兩式相減可化為，可得數列是首項為，公比為的等比數列，從而可得結果；（2）由（1）可得.利用錯位相減法，結合等比數列的求和公式可得數列的前項和.

詳解：（1）∵2Sn＋3＝3an， ①

∴2Sn－1＋3＝3an－1， (n≥2) ②

①－②得2Sn－2Sn－1＝3an－3an－1＝2an，

則＝3 (n≥2)，

在①式中，令n＝1，得a1＝3．

∴數列{an}是首項為3，公比為3的等比數列，

∴an＝3n．

（2）bn＝an·log3an+2＝3n·log33n+2＝(n+2)·3n．

所以Tn＝3·31＋4·32＋5·33＋…＋(n+1)·3n－1＋(n+2)·3n， ①

則 3Tn＝ 3·32＋4·33＋…＋n·3n－1＋(n+1)·3n＋(n+2)·3n+1， ②

①－②得，

－2Tn＝9＋1 (32＋33＋…＋3n－1＋3n)－(n+2)·3n+1，

＝9＋－(n+2)·3n+1

＝－×3n+1．

所以Tn＝×3n+1－．