Question

已知函數的圖象在上連續，定義：，.其中，表示函數在上的最小值，表示函數在上的最大值.若存在最小正整數，使得對任意的成立，則稱函數為上的“階收縮函數”.
（Ⅰ）若，試寫出，的表達式；
（Ⅱ）已知函數，試判斷是否為上的“階收縮函數”.如果是，求出對應的；如果不是，請說明理由；
（Ⅲ）已知，函數是上的2階收縮函數，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）存在k=4，使得f（x）是[﹣1，4]上的4階收縮函數．（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）根據f（x）=cosx的最大值為1，可得f₁（x）、f₂（x）的解析式．
（Ⅱ）根據函數f（x）=x²在x∈[-1，4]上的值域，先寫出f₁（x）、f₂（x）的解析式，再由f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）求出k的范圍得到答案．
（3）先對函數f（x）進行求導判斷函數的單調性，進而寫出f₁（x）、f₂（x）的解析式，
然后再由f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）求出k的范圍得到答案．
試題解析：
（Ⅰ）由題意可得：，2分
（Ⅱ），，
所以                             4分
當時，，∴，即；
當時，，∴，即；
當時，，∴，即．
綜上所述，∴
即存在k=4，使得f（x）是[﹣1，4]上的4階收縮函數．                     7分
（Ⅲ）令得或．函數f（x）的變化情況如下：

x	（－，0）	0	（0,2）	2	（2，+）
	－	0	+	0	－
f（x）		0		4

令f（x）=0，解得x=0或3．                                           
（ⅰ）b≤2時，f（x）在[0，b]上單調遞增，因此，．
因為是[0，b]上的2階收縮函數，所以，①對x∈[0，b]恒成立；②存在x∈[0，b]，使得成立．
①即：對x∈[0，b]恒成立，由，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使對x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0，b]，使得成立．由得：x＜0或，所以．
綜合①②可得：．                                    10分
（ⅱ）當b＞2時，顯然有，由于f（x）在[0，2]上單調遞增，根據定義可得：，，可得，
此時，不成立．                               12分
綜合ⅰ）ⅱ）可得：的取值范圍為．                       13分
（注：在（ⅱ）中只要取區間內的一個數來構造反例即可，這里用只是因為簡單而已）