Question

【題目】已知橢圓：（）的離心率為，且橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合.過點的直線交橢圓于，兩點，為坐標原點.

（1）若直線過橢圓的上頂點，求的面積；

（2）若，分別為橢圓的左、右頂點，直線，，的斜率分別為，，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據拋物線的焦點求得橢圓的焦點，由此求得，結合橢圓離心率求得，進而求得，從而求得橢圓的標準方程，求得橢圓上頂點的坐標，由此求得直線的方程.聯立直線的方程和橢圓方程，求得兩點的縱坐標，由此求得的面積.

（2）求得兩點的坐標，設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，由此求得的值，根據在橢圓上求得的值，由此求得的值.

（1）因為拋物線的焦點坐標為，所以橢圓的右焦點

的坐標為，所以，

因為橢圓的離心率為，所以，解得，

所以，

故橢圓的標準方程為.

其上頂點為，所以直線：，聯立，

消去整理得，解得，，

所以的面積.

（2）由題知，，，設，.

由題還可知，直線的斜率不為0，故可設：.

由，消去，得，

所以

所以，

又因為點在橢圓上，所以，

所以.