Question

已知函數．
（1）當b=2a時，求函數f（x）的極值？
（2）已知b＞0，且函數f（x）在區間（0，2]上單調遞增，試用b表示出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把b=2a代入到f（x）中，求出f'（x）=0時x的值，利用a的范圍討論函數的增減性得到函數的極值；
（2）因為函數f（x）在區間（0，2]上單調遞增，所以f'（x）=x²-（a+2）x+b≥0對x∈（0，2]恒成立，即恒成立，設g（x）=，求出導函數利用b的取值范圍討論函數的增減性得到g（x）的最小值，a小于等于最小值，列出不等式求出a的取值范圍．
解答：解：（1）當b=2a時，，
所以f'（x）=x²-（a+2）x+2a=（x-2）（x-a）．令f'（x）=0，得x=2，或x=a．
①若a＜2，則當x∈（-∞，a）時，f'（x）＞0；當x∈（a，2）時，f'（x）＜0；當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，a）上單調遞增，在（a，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增．此時當x=a時，f（x）有極大值；當x=2時，f（x）有極小值．
②若a=2，則f'（x）=（x-2）²≥0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，此時f（x）無極值．
③若a＞2，則當x∈（-∞，2）時，f'（x）＞0；當x∈（2，a）時，f'（x）＜0；當x∈（a，+∞）時，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，2）上單調遞增，在（2，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增．此時當x=2時，f（x）有極大值；當x=a時，f（x）有極小值．
（2）解：因為函數f（x）在區間（0，2]上單調遞增，所以f'（x）=x²-（a+2）x+b≥0對x∈（0，2]恒成立，
即對x∈（0，2]恒成立，所以．
設，則（b＞0），
①若，即0＜b＜4，則當時，g'（x）＜0；當時，f'（x）＞0．
所以g（x）在上單調遞減，在上單調遞增．
所以當時，g（x）有最小值，所以當0＜b＜4時，．
②若，即b≥4，則當x∈（0，2]時，g'（x）≤0，所以g（x）在（0，2]上單調遞減，
所以當x=2時，g（x）有最小值，所以當b≥4時，．
綜上所述，當0＜b＜4時，；當b≥4時，．
點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，利用導數研究函數的單調性，以及會利用分類討論的數學思想解決數學問題．